tema 3.13 transformada de laplace de la funcion Delta Dirac

Es evidente que, hasta el momento, la transformada de Laplace no es más que otra técnica para la resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, su popularidad (sobre todo en problemas de ingeniería) radica en que nos permite resolver ecuaciones en las cuales el término independiente puede ser sumamente "mal portado". En el caso de la ecuación (3), el término H(t) podría no ser una función continua (lo cual representa mejor a la realidad), con lo cual la función x(t) sería diferenciable por pedazos. El tipo de funciones H(t) que vamos a analizar son funciones que son nulas, excepto en algunos intervalos o instantes de tiempo predeterminados.
La función más simple de este tipo es la función escalón o función de Heaviside. Ésta se define para cualquier a = 0 como sigue:

Es fácil ver que su transformada de Laplace está dada por

Una variante de esta función es la siguiente:

Asimismo, tomando el límite cuando .t . 0 se define

A esta última función se la conoce como la función delta de Dirac. Llamamos función de impulso a cualquier función que se obtenga como una combinación lineal de deltas de Dirac.

3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCION

El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con   . (Notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea   el operador de la transformada de Fourier, con lo que   y   son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

tema 3.7 transformadas de funciones multiplicadas por t(n) y divididas entre t

En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f( t) que se multiplica por un monomiotn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integro diferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.

Multiplicación de una función portn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

es decir

se puede usar el resultado anterior para hallar la transfomada de Laplace

pagina

http://es.scribd.com/doc/24126981/unidad-3





tema 3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslacion)

Algunas propiedades de la transformada de Laplace.

Se asume que las funciones f, f1 y f2 que aparecen son funciones continuas a trozos y de orden exponencial.

Ahora vamos a enunciar algunas propiedades de la transformada.

Linealidad de la transformada

Si

y

 

existen entonces

para cualquier real c Si

y

existen entonces

 

para cualquier constante real

Demostracion

Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

Ejemplo

calcule

Solucion
como

 

por la propiedad de linealidad

=

=

 

=

=

 

Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.

Teoremas de traslación

No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular  

es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.

Si conocemos que l{f(t)}=F(s) podemos calcular la transformada de

como una translacion de F(s) a F8s-k) como lo enuncia el siguiente teorema

Teorema de traslación

Si es un número real y l{f(t)} existe entonces

donde f(s)=l{f(t)}

Ejemplo

calcule

solucion utilizando el torema de traslacion

=

=

=

tema 3.4 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos

Si una funcion f(t) puede ser representada por tramos con la existencia de saltos finitos, entonces la funcion continua por tramos y los saltos son considerados como discontinuidades ordinarias. La transformada de Laplace de las funciones continuas por tramos es calculada evaluando la transformacion integral  de cada uno de los tramos. Considere la siguiente funcion expresada por tramos. Se muestra los valores de f(t) en el intervalo de 0 a 5. Observe como todas las discontinuidades son finitas.

transformadas de laplace
url: http://www.youtube.com/watch?v=J4Mfh02lQH0&feature=related

tema 3.3 Transformada de Laplace de funciones basicas

A continuacion se calculan algunas transformadas de funciones basicas empleando la definicion integral de la transformada de Laplace.

Sea.:

   está solamente definida 0 ≤ ≤ 0 y en ese intervalo = 1  

funciones basicas  a)En este video se muestra como se utilizan las funciones basicas de laplace

 

b)

c)

d)

e)

f)

g)

sacado de:

http://www.monografias.com/trabajos32/fourier-y-laplace/fourier-y-laplace.shtml#transflaplace

del libro

titulo: Metodos de solucion de Ecuacion Diferenciales y aplicaciones

autores: ma. del carmen cornejo serrano, eloisa bernadett villalobos oliver, pedro alberto quintana hernandez

editorial: reverte

url: http://www.youtube.com/watch?v=vztTJHTTKwY

Como la función  

               

Tema 3.1 Definicion de la transformada de Laplace

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo.
Definimos:
f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por la integral.
s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.

L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace
F(s) = transformada de Laplace de f(t)
La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si f(t) es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a infinito.
Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo de “infinito” <= t <= “beta” si es posible partir del intervalo en un número finito de subintervalos de tal manera que la función sea continua en cada uno de ellos y tenga límites a izquierda y derecha.

F(t)


t1 t2 t3
En la figura se da un ejemplo gráfico de una función seccionalmente continua. Esta función tiene discontinuidades en t1, t2 y t3. Nótese que en t2, por ejemplo, los límites a derecha y a izquierda se representan por
Lím F(t2 + E) = F(t2 + 0) = y lím F(t2 - E) = F(t2 - 0) = F(t2 -) respectiva-
E0 E0
mente, donde E es positivo.
FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL
Si existe constantes reales M > 0 y tales que para todo t > N
| e -yt F(t) | < M o | F(t) | < M e yt
se dice que F(t) es una función de orden exponencial y cuanto t “infinito”, o simplemente, que es una función de orden exponencial.
Ejemplo 1. F(t) = t2 es de orden exponencial 3 (por ejemplo) ya que | t2 | = t2 < e3t para todo t > 0.
Ejemplo 2. F(t) = et2 (al cuadrado) no es de orden exponencial puesto que [e -yt et3 (al cubo) ] = et2 - yt puede hacerse más grande que cualquier constante al hacer crecer t.
Si F(t) seccionalmente continua en cada intervalo finito 0 <= t <= N de orden exponencial y para t > N, entonces existe la transformada de Laplace f(s) para todo s > y.

esta informacion fue sacado de la pagina:
http://html.rincondelvago.com/transformada-de-laplace.html