tema 3.14 transformada inversa



tema 3.13 transformada de laplace de la funcion Delta Dirac

Es evidente que, hasta el momento, la transformada de Laplace no es más que otra técnica para la resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, su popularidad (sobre todo en problemas de ingeniería) radica en que nos permite resolver ecuaciones en las cuales el término independiente puede ser sumamente "mal portado". En el caso de la ecuación (3), el término H(t) podría no ser una función continua (lo cual representa mejor a la realidad), con lo cual la función x(t) sería diferenciable por pedazos. El tipo de funciones H(t) que vamos a analizar son funciones que son nulas, excepto en algunos intervalos o instantes de tiempo predeterminados.
La función más simple de este tipo es la función escalón o función de Heaviside. Ésta se define para cualquier a = 0 como sigue:

Es fácil ver que su transformada de Laplace está dada por

Una variante de esta función es la siguiente:

Asimismo, tomando el límite cuando .t . 0 se define

A esta última función se la conoce como la función delta de Dirac. Llamamos función de impulso a cualquier función que se obtenga como una combinación lineal de deltas de Dirac.

3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCION

El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con   . (Notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea   el operador de la transformada de Fourier, con lo que   y   son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

tema 3.7 transformadas de funciones multiplicadas por t(n) y divididas entre t

En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f( t) que se multiplica por un monomiotn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integro diferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.

Multiplicación de una función portn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

es decir

se puede usar el resultado anterior para hallar la transfomada de Laplace

pagina

http://es.scribd.com/doc/24126981/unidad-3





tema 3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslacion)

Algunas propiedades de la transformada de Laplace.

Se asume que las funciones f, f1 y f2 que aparecen son funciones continuas a trozos y de orden exponencial.

Ahora vamos a enunciar algunas propiedades de la transformada.

Linealidad de la transformada

Si

y

 

existen entonces

para cualquier real c Si

y

existen entonces

 

para cualquier constante real

Demostracion

Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

Ejemplo

calcule

Solucion
como

 

por la propiedad de linealidad

=

=

 

=

=

 

Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.

Teoremas de traslación

No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular  

es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.

Si conocemos que l{f(t)}=F(s) podemos calcular la transformada de

como una translacion de F(s) a F8s-k) como lo enuncia el siguiente teorema

Teorema de traslación

Si es un número real y l{f(t)} existe entonces

donde f(s)=l{f(t)}

Ejemplo

calcule

solucion utilizando el torema de traslacion

=

=

=

tema 3.4 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos

Si una funcion f(t) puede ser representada por tramos con la existencia de saltos finitos, entonces la funcion continua por tramos y los saltos son considerados como discontinuidades ordinarias. La transformada de Laplace de las funciones continuas por tramos es calculada evaluando la transformacion integral  de cada uno de los tramos. Considere la siguiente funcion expresada por tramos. Se muestra los valores de f(t) en el intervalo de 0 a 5. Observe como todas las discontinuidades son finitas.

transformadas de laplace
url: http://www.youtube.com/watch?v=J4Mfh02lQH0&feature=related

tema 3.3 Transformada de Laplace de funciones basicas

A continuacion se calculan algunas transformadas de funciones basicas empleando la definicion integral de la transformada de Laplace.

Sea.:

   está solamente definida 0 ≤ ≤ 0 y en ese intervalo = 1  

funciones basicas  a)En este video se muestra como se utilizan las funciones basicas de laplace

 

b)

c)

d)

e)

f)

g)

sacado de:

http://www.monografias.com/trabajos32/fourier-y-laplace/fourier-y-laplace.shtml#transflaplace

del libro

titulo: Metodos de solucion de Ecuacion Diferenciales y aplicaciones

autores: ma. del carmen cornejo serrano, eloisa bernadett villalobos oliver, pedro alberto quintana hernandez

editorial: reverte

url: http://www.youtube.com/watch?v=vztTJHTTKwY

Como la función