tema 3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslacion)

Algunas propiedades de la transformada de Laplace.

Se asume que las funciones f, f1 y f2 que aparecen son funciones continuas a trozos y de orden exponencial.

Ahora vamos a enunciar algunas propiedades de la transformada.

Linealidad de la transformada

Si

y

 

existen entonces

para cualquier real c Si

y

existen entonces

 

para cualquier constante real

Demostracion

Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

Ejemplo

calcule

Solucion
como

 

por la propiedad de linealidad

=

=

 

=

=

 

Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.

Teoremas de traslación

No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular  

es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.

Si conocemos que l{f(t)}=F(s) podemos calcular la transformada de

como una translacion de F(s) a F8s-k) como lo enuncia el siguiente teorema

Teorema de traslación

Si es un número real y l{f(t)} existe entonces

donde f(s)=l{f(t)}

Ejemplo

calcule

solucion utilizando el torema de traslacion

=

=

=